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求极限 lim(cosx+sinx)^1/x

时间:2020-9-23
求极限 lim(cosx+sinx)^1/x
x趋于0
表示我还没学过罗比达法则
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匿名网友:
一下都省略极限过程x→0
设 A = lim(cosx+sinx)^1/x,则
lnA = lim ln(cosx+sinx)/x
= lim [ln(cosx+sinx)]'/x'【L'Hospital法则】
= lim (cosx+sinx)'/(cosx+sinx)
= lim (-sinx+cosx)/(cosx+sinx)
= lim (0+1)/(1+0)
= 1
于是A = e .
没有学过罗比达法则就要用等价无穷小代换了.
lnA = lim ln(cosx+sinx)/x
= lim 1/2·ln(cosx+sinx)²/x
= lim 1/2·ln(1+2sinx·cosx)/x
= lim 1/2·ln(1+sin2x)/x
= lim 1/2·2x/x【ln(1+sin2x)~sin2x~2x】
= 1
于是A = e .
PS:楼上做法思路直接,处理cosx的时候略显粗糙,可以只使用一次等价无穷小代换的.
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